Сколько сторон имеет параллелепипед. §22

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

260. Заполните теорию.

1) Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником .
2) Сторона граней прямоугольного параллелепипеда называют ребрами , вершины граней - вершинами прямоугольного параллелепипеда .
3) У параллелепипеда 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
4) Грани прямоугольного параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противолежащими .
5) Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны .
6) Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей его граней .
7) Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
8) Чтобы различать измерения прямоугольного параллелепипеда, пользуюятся названиями: длина, ширина и высота.
9) Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны .
10) Поверхность куба состоит из шести равных квадратов .

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

261. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDMKEF. Заполните пропуски.

1) Вершина В принадлежит граням АМКВ, АВСD, КВСЕ .
2) Ребру ЕF равны ребра КМ, АВ, СD .
3) Верхняя грань параллелепипеда - прямоугольник МКЕF .
4) Ребро DF является общим ребром граней АМFD и FЕСD .
5) Грани АМКВ равна грань FЕСD .

262. Вычислите площадь поверхности куба и ребром 6 см.

Решение :
Площадь одной грани равна
6 2 -6*6 = 36 (см 2)
Площадь повехности равна
6*36 = 216 (см 2)

Ответ : Площадь поверхности равна 216 см 2 .

263. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед MNKPEFCD, измерения которого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его ребер и площадь поверхности.

Решение :
Сумма ребер
4*(8+5+3) = 64 (см)
Площадь поверхности равна:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (см 2)

Ответ : сумма длин всех его ребер равна 64 см, площадь поверхности - 158 см 2 .

264. Заполните пропуски.

1) Поверхность пирамиды состоит из боковых граней - треугольников, имеющих общую вершину и основание .
2) Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды .
3) Стороны основания пирамиды называют ребрами основания , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, - боковыми ребрами .

265. На рисунке изображена пирамида SABCDE. Заполните пропуски.

1) На рисунке изображена 5 угольная пирамида.
2) Боковыми гранями пирамиды являются треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA , а основанием - 5 угольник, ABCDE .
3) Вершиной пирамиды является точка S .
4) Ребрами основания пирамиды являются отрезки AB, BC, CD, DE, EA , боковыми ребрами - отрезки SA, SB, SC, SD, SE .

266. На рисунке изображена пирамида DАВС.ю все грани которой - равносторонние треугольники со сторонами по 4 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение :
Сумма длин ребер равна
6*4 = 24 (см)

Ответ : 24 см.

267. На рисунке изображена пирамида МАВСD, боковые грани которой - равнобедренные треугольники с боковыми сторонами по 7 см, а основание - квадрат со стороной 8 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение :
Сумма длин боковых ребер равна
4*7 = 28 (см)
Сумма длин ребер основания равна
4*8 = 32 (см)
Сумма длин всех ребер
28+32 = 60 (см)

Ответ : сумма длин всех ребер пирамиды равна 60 см.

268. Может ли иметь (да, нет) форму прямоугольного параллелепипеда:
1) яблоко; 2) коробка; 3) торт; 4) дерево; 5) кусок сыра; 6) кусок мыла?

Ответ : 1) нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.

269. На рисунке показана последовательность шагов изображения прямоугольного параллелепипеда. Начертите так же параллелепипед.

270. На рисунке показана последовательность шагов изображения пирамиды. Начертите так же пирамиду.

271. Чему равно ребро куба, если площадь его поверхности равна 96 см 2 .

Решение :
1) 96:6 = 16 (см 2) - площадь одной грани куба.
2) 4*4 = 16, значит ребро куба равна 4 см.

Ответ : 4 см.

272. Запишите формулу для вычисления площади S поверхности:

1) куба, ребро которого равно а;
2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, b, c.

Ответ : 1) S = 6а 2 ; 2) S = 2(аb+ас+bс)

273. Для покраски куба, изображенного на рисунке слева, требуется 270 г краски. Часть куба вырезали. Сколько потребуется граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного тела, выделенную голубым цветом.

Решение :
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (г) - на покраску единичной грани
2) 5*12 = 60 (г) - на покраску голубой поверхности

Ответ : потребуется 60 г раски

274. Какая из фигур А, Б, В, Г, Д дополняет фигуру Е до параллелепипеда?

275. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Высота параллелепипеда равна 4 см, что в 3 раза меньше его длины и на 5 см меньше его ширины. Найдите ребро куба.

Решение :
1) 4*3 = 12 (см) длина переллелепипеда
2) 4+5 = 9 (см) ширина параллелепипеда
3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (см 2) площадь поверхности параллелепипеда
4) 384:6 = 64 (см 2) площадь грани куба
5) 64 = 8*8 = 8 2 , значит ребро куба 8 см.

Ответ : ребро куба 8 см.

276. Обведите на изображении куба цветным карандашом видимые ребра так, чтобы куб был виден: 1) сверху и справа; 2) снизу и слева.

277. Грани куба пронумерованы числами от 1 до 6. На рисунке изображены два варианта развертки отдного и того же куба, полученные при равном разрезании. Какое число должно стоять вместо знака вопроса?

Когда вы были маленькими и играли кубиками, то, возможно, складывали фигуры, изображенные на рисунке 154 . Эти фигуры дают представление о прямоугольном параллелепипеде . Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок, упаковочный ящик, пакет сока.

На рисунке 155 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями . Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

Стороны граней называют ребрами прямоугольного параллелепипеда , вершины граней − вершинами прямоугольного параллелепипеда . Например, отрезки AB, BC, A 1 B 1 − ребра, а точки B, A 1 , C 1 − вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 155 ).

У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.

Грани AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C не имеют общих вершин. Такие грани называют противолежащими . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 есть еще две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , а также прямоугольники AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C.

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

На рисунке 155 грань ABCD называют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.

Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина , ширина , высота (рис. 156 ).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом (рис. 157 ). Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть (рис. 158 ) и разрезать по четырем вертикальным ребрам (рис. 159 ), а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников (рис. 160 ). Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда .

На рисунке 161 изображена фигура, состоящая из шести равных квадратов. Она является разверткой куба.

С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.

Это можно сделать, например, так. Начертить на бумаге его развертку. Вырезать ее, согнуть по отрезкам, соответствующим ребрам прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 159 ), и склеить.

Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. На рисунке 162 изображены многогранники.

Одним из видов многогранника является пирамида .

Эта фигура для вас не нова. Изучая курс Древнего мира, вы познакомились с одним из семи чудес света − египетскими пирамидами.

На рисунке 163 изображены пирамиды MABC, MABCD, MABCDE. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания (рис. 164 ). Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды .

Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная (см. рис. 163 ) и т.д.

Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это основание вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.

На рисунке 165 изображена фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды . Она состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.

На рисунке 166 изображена фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников. С помощью этой фигуры можно сделать модель треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.

Многогранники являются примерами геометрических тел .

На рисунке 167 изображены знакомые вам геометрические тела, не являющиеся многогранниками. Более подробно с этими телами вы познакомитесь в 6 классе.

либо (равносильно) многогранник с шестью гранями, являющимися параллелограммами. Шестигранник.

Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед являются гранями этого параллелепипеда, стороны этих параллелограммов являются ребрами параллелепипеда , а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда . У параллелепипеда каждая грань является параллелограммом .

Как правило выделяют любые 2-е противолежащие грани и называют их основаниями параллелепипеда , а оставшиеся грани — боковыми гранями параллелепипеда . Ребра параллелепипеда, которые не принадлежат основаниям являются боковыми ребрами .

2 грани параллелепипеда, которые имеют общее ребро являются смежными , а те, которые не имеют общих ребер — противоположными .

Отрезок, который соединяет 2 вершины, которые не принадлежат 1-ой грани является диагональю параллелепипеда .

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда, которые не параллельны, являются линейными размерами (измерениями ) параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 3 линейных размера.

Типы параллелепипеда.

Существует несколько видов параллелепипедов:

Прямым является параллелепипед с ребром, перпендикулярным плоскости основания.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения имеют равную величину, является кубом . Каждая из граней куба - это равные квадраты .

Произвольный параллелепипед. Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде в основном определяются при помощи векторной алгебры. Объём параллелепипеда равняется абсолютной величине смешанного произведения 3-х векторов, которые определяются 3-мя сторонами параллелепипеда (которые исходят из одной вершины). Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними показывает утверждение, что определитель Грама данных 3-х векторов равняется квадрату их смешанного произведения .

Свойства параллелепипеда.

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Всякий отрезок с концами, которые принадлежат поверхности параллелепипеда и который проходит через середину его диагонали, делится ею на две равные части. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в 1-ой точке и делятся ею на две равные части.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и имеют равные размеры.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется